[Linear algebra] 30. Linear transformations and their matrices

Lecture

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-30-linear-transformations-and-their-matrices/

Lecture 30: Linear transformations and their matrices | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare

 

Note

• 공학에서 많이 사용하는 linear transformation을 보통 행렬로 표현된다는 당연한 내용이 나온다. 그래서 인지 전체 내용이 조금 얕고 소개에 대한 수준인 것 같다.
  
  

• 알다시피 위와 같은 조건을 만족하면 linear transformation이라고 부를 수 있고 대표적인 예시를 rotation matrix가 있다. 
• 사실 T(v) = Av 형태면 다 만족하기 때문에 모든 matrix A는 결국 linear transformation이다.
  
  

• Transformation T matrix가 만들게 될 결과 공간은 T가 linear하므로 input basis 하나 하나 transform한 T(v)를 알면 끝난다. 어차피 T(v)도 linear combination이 가능하기 때문이다.
  
  

• 어떤 vector, v 를 basis 의 linear combination으로 표현한다면 그 계수들이 coordinate이다. (당연한 내용이다.)
  
  

• 만약 input basis와 output basis를 아는데 transformation matrix T를 모를 경우, 간단히 계산할 수 있다. 
• 위 수식과 같이 T(v1) = linear combination of w 가 되는데 이 때 output basis의 계수가 T의 column이 된다.
• 참고로 basis를 eigenvector로 잡을 경우, T는 diagonal matrix로 나온다. 
  
  

• 예시는 위 사진과 같다.
• 이번 강의는 유독 크게 중요한 내용이 없었던 것 같다.