[Linear algebra] 7. Solving Ax=0, pivot variables, special solutions

Lecture

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Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare

 

Note

• Ax=0은 어떻게 푸는가? elimination을 통해 Ux=0 형태로 단순화해서 푼다. Ax=b였으면 안되지만 Ax=0의 해는 Ux=0은 같다. 
• elimination을 진행하면서 non-zero pivot인 column을 pivot column 그리고 pivot의 값은 pivot value라고 한다. 이 pivot column의 개수가 independent column의 개수이며 matrix의 rank라고 불린다. 
• 배경지식으로, 계단식 upper triangle matrix를 echelon matrix라고 한다.
  
  

• pivot column이 아닌 column은 free column이라고 불리며 pivot column의 linear combination으로 생성할 수 있는 dependent column이다. 
• 그렇기 때문에 Ux=0 문제를 풀 때 free column에 대응되는 x 값은 아무런 값을 설정해도 된다. 어차피 pivot column의 조합이기 때문에 pivot column에 대응되는 x값을 조절해서 맞출 수 있기 때문이다. 
• 위 예시에서는 x2와 x4를 1과 0으로 임의 설정하고 문제를 푸는 모습이다.
• 이렇게 구한 값은 special solution이라고 불린다. 
• 전체 null space는 special solution들의 linear combination으로 표현할 수 있는데, 이 때 사용되는 special solution의 개수는 free variable의 개수만큼이다. 따라서 (# of columns - rank) 만큼 special solution을 구하면 된다. 팁은 free variable 마다 1,0,0,... / 0,1,0 ... 과 같이 하나의 free variable로 계산할 때는 다른 free variable은 0으로 넣어서 계산하면 최소로 계산할 수 있다. (실수로 같은 의미의 값을 넣는 경우를 줄일 수 있음)
  
  

• reduced echelon form으로 upward elimination을 통해 한 번 더 정리할 수 있음. 이 경우에 역시 Ax=0의 해가 Rx=0의 해와 같기 때문이 가능한 것.
• pivot column/row가 identity matrix를 만듦.
  
  

• Identity matrix가 숨어있는 형태인 rref from은 임의로 free variable을 넣어가며 찾는 수고를 없앨 수 있다. 
• pivot column과 free column이 실제로는 섞여있겠지만 위 사진과 같이 I -> F 순서대로 정렬되어 있는 R matrix가 있다고 하고 special solution x 들을 matrix N으로 표현한다고 하면, Rx=0을 만족하는 matrix N (RN=0)은  [-F, I ] 형태임을 바로 볼 수 있다. 따라서 rref form으로 정리하는 것만으로 null space (N(A)) 를 구할 수 있다.  
  
  

• rref로 null space 구하기 추가 예시.