[Linear algebra] 8. Solving Ax=b: row reduced form R

Lecture

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Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare

 

Note

• Ax=b의 솔루션 존재여부는 b가 column space, C(A) 내에 있는지 여부 혹은 A의 row 중 다른 row의 linear combination으로 zero row로 만들 수 있는 row가 있다면, 같은 linear combination으로 b를 조합했을 때 0이 나오는지 여부로 판별할 수 있다. 
  
  

• Ax=b의 완전한 해를 구하는 방법은 두 가지 스텝이다. 첫 번째로 모든 free variable에 0을 대입하여 특별한 경우의 해를 구한다. particular solution이라고 한다.
• 이후 Ax=0의 해, 즉 nullspcae를 구한 뒤 두 개를 더 한 것이 complete solution이다.
• Ax.p=b, Ax.n=0 라면 A(x.p+x.n)=b 를 만족한다. 그리고 nullspace x.n이 subspace를 담고 있으므로 이 둘의 조합은 Ax=b의 solution 집합과 같다고 할 수 있다. (여기서 solution이 이루는 space는 subspace가 일반적으로 아니다. x.p 만큼 shift되어 있기 때문에 원점을 안 지난다. x.p가 0이라면 그때 지난다.)
  
  

• Ax=b가 그럼 언제 유일해를 가지는가? 필요조건은 모든 column이 pivot column, 즉 free variable이 없는 경우다. (full column rank라고 부른다.)
• free variable이 없는 경우, nullspace는 zero vector 뿐이므로 A(x.p+x.n)=b 의 형태의 complete solution은 Ax.p=b 뿐이다. 
• full rank일 때, b 또한 colum space 안에 있을 경우, 단 1개의 solution을 갖는다.  
  
  

• full row rank인 경우에는 어떤가? 모든 b에 대해서 해가 존재한다. 즉 unique solution이 없다. 
• column의 개수를 n, row의 개수를 m이라고 했을 떄 n < m 일 경우에 full row rank가 발생하는데 n-r (= n-m) 개수의 free variable이 존재하기 때문에 particular solution이 반드시 존재하고 Ax=b는 x.p+x.n 형태의 무수히 많은 해를 갖게 된다.
  
  

• square matrix에서 full column rank 이면서 full row rank 일 경우는? 위 두 특성을 모두 만족하여 free variable이 없는데 해는 무조건 존재하는 조건이라 단 하나의 unique solution이 있음을 보장할 수 있다.
• 정리하면 full column rank는 해가 없거나 1개 있거나, full row rank는 해가 무수히 많다.
• full column/row rank가 둘 다 아닐 시 해가 없거나 무수히 많다. 위 수 식에서 rref(reduced row echelon form)으로 바꾸었을 때 내부에 zero가 발생하는데 이 zero에 대응되는 b (Ax=b 중)가 0가 아닐 경우 해가 없고, 0일 경우 해가 무수히 많다.