[Linear algebra] 6. Column space and nullspace

Lecture

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-6-column-space-and-nullspace/

Lecture 6: Column space and nullspace | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare

 

Note

• subspace 간 union은 subspace라고 보장할수 없다. 하지만 subspace 간 intersection은 여전히 subspace임을 보장할 수 있다. 
• 위 사진을 예시로 subspace S 와 subspace T에 동시에 해당하는 (intersect) vector V와 W가 있다고 했을 때, V+W 혹은 aV +bW 모두 subspace 내에 있다고 볼 수 있다. V+W는 여전히 subspace S 내에 있을 것이고 (subspace S는 덧셈에 닫혀있으므로) subspace T도 마찬가지다. 애초에 intersection 위에 있는 V와 W였기 때문에 여전히 intersection 위에 있다.
• 3차원 subspace로 예를 들면, 두 평면 S와 T가 교차하는 라인 L 에 vector V와 W가 있다면 V+W는 여전히 라인 L에 있음을 당연히 상상할 수 있다.
  
  

• Ax=b 문제를 C(A) 관점에서 다시 볼 줄 알아야 한다. Ax=b 문제는 항상 풀 수 있는가? No다. 그럼 언제 풀 수 있는가? 그 해답은 b가 C(A)에 속해있을 때다. 다른 말로 b가 각 column의 linear combination으로 표시가 될 수 있어야 한다.
• pivot column(column 중 다른 column의 합 혹은 배로 만들 수 없는 column)을 찾아내고 해당 column들이 이루는 공간 안에 b가 있는지 확인하면 풀 수 있는지 없는지 알 수 있다. 위 예시에서는 세번째 column이 종속적이므로 (C1+C2) pivot column은 C1, C2이고 이 두 column이 이루는 공간은 4차원 공간 속에서 2차원 subspace이다. b가 이 subspace 안에 있으면 된다. 
  
  

• Ax=0을 만족하는 x가 이루는 subspace를 null space, N(A)라고 한다. 차원은 x의 차원과 같다. 
• 0은 항상 null space에 존재한다. 위 예시에서는 [1, 1, -1]이 이루어는 3차원 라인이 있겠다. 
• AV=0, AW=0 일때 A(V+W)=0 임이 분명하고, A(aV) 역시 분명하므로 nullspace도 subspace가 맞다.