[Linear algebra] 19. Determinant formulas and cofactors

Lecture

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Lecture 19: Determinant formulas and cofactors | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare

 

Note

• n x n matrix에 대해 determinant를 구하는 작업은 determinant의 특징들을 이용해 분해하는 것으로 시작한다. 
• 예를 들어, 3x3 matrix만 해도 1-3-9-?개의 작은 determinant의 합으로 표현할 수 있는데 이중 대부분 0이므로 살아남는 것만 나열하면 위 사진처럼 6개가 있다. 
• 이 각각을 계산하여 더하면 된다. 하지만 굉장히 복잡한 것을 알 수 있다. 
  
  

• 한 번 단순화한 식은 위와 같다. 어차피 0으로 사라질 term을 제외하고 총 n! 번에 대해서 작은 determinant의 합을 구하면 된다. 
• 이 때 부호는 alpha~omega가 1~n 을 몇번 permutation해야 나오는 조합인지 센 뒤에 정하면 된다. (여전히 복잡한 것은 맞는 것 같다. 손으로 계산할 것은 아닌듯.)
• n!인 이유는 첫번째 row에서 value를 잡고 해당 value가 위치하는 column을 제외하고 다음 row 기준 value를 찾아야 하기 때문에 n -> n-1 -> n-2 식으로 줄고 이 경우에 수를 다 합하면 최대 n!이다. 
  
  

• 앞선 공식을 한 번 더 단순화하기 위해 cofactor라는 개념이 등장한다.
• 위 공식을 잘 관찰해보니, n x n matrix의 determinant를 계산하는 과정은 n-1 x n-1 matrix 의 deteriminant를 계산하는 과정을 n 번 반복하는 것과 같다는 것을 발견했다. 고차 행렬을 낮은 차수 행렬로 나누어 푸는 컨셉인데 이 때 1차 수 낮은 determinant 값을 cofactor 라고 한다. 
• 이해가 잘 안되는데 3x3 matrix에서 에시를 들면 다음과 같다.
  
  

• 첫번째 row를 기준으로 잡고 해당 row와 column을 제외한 나머지의 determinant를 cofactor라고 부른다. 
• cofactor의 부호는 기준 value (빨간색 원)이 속하는 i th row, j th column 에서 i+j를 계산했을 때 짝수면 +, 홀수면 -다.
• 첫번째 row value * cofactor를 전부 더하면 최종 determinant를 구할 수 있다.
• 이 cofactor 또한 n-1차 인데 n>2일 경우, 꼬리에 꼬리를 무는 식으로 계산할 수 있다. 결국엔 2차 행렬의 determinant의 무수한 조합으로 n차 행렬의 determinant를 구할 수 있다. 
  
  

• 최종 공식화된 n차 행렬 determinant 구하는 식을 위와 같다. 
• 코드로 recursive하게 구현하기 딱 좋은 형태로 정리됐다. 위 공식과 개념만 알고 있으면 되겠다.
  
  

• 참고 차 기억해두면 좋을 것은 위 예시처럼 tri-diangonal matrix의 경우, cofactor를 이용해 분석해보면 위와 같이 공식화할 수 있다. 이 특징은 유용하게 쓰인다고 한다. (실생활에서 쓸 일은 없겠지만... 학문적으로?)