[Chapter 2.1] Abstract Simplicial Complex

끄적끄적

어느 순간 논문을 읽는 것만 집중하게 된 것 같은데 기초 이론에 대한 공부를 소홀히 한 듯하다. 수학을 알아야 쌓아올릴 줄 아는 것인데 벽돌은 어떻게 만드는지도 모르면서 건물 지을 생각부터 하고 있었다. 이해되지 않는 답답함과 불편함을 견디면서 공부하는 시간을 좀 가져야 겠더라. 그래서 Differential geometry를 좀 공부해보기로 했다. 미분기하에 대해선 (무려) 반년 전부터 관심이 있었지만 지금까지 손대지 않았다. 그때 일단 손 대기 시작했으면 하루에 1장씩만 봤어도 벌써 이론서 1권을 뗐을 시간이라고 생각해보니 지금 당장 시작해야겠다. 

 

자료

Keenan Crane이 작성한 Discrete differential geometry : an appilied introduction PDF 파일을 이해해보기로 한다.

 

메모

먼저 differential geometry에서는 흔히 mesh로 접한 vertex-edge-face로 구성된 구조물을 다룬다.  vertex와 그 간 connectivity가 주요 정보가 되겠다.  vertex : 0-simplex edge : 1-simplex face : 2-simplex가 라는 용어로 정의된다.  k-simplicies 자체의 정의는 "right next to each-other" 즉 거리가 1로 맞닿아있는 상태의 topology들을 말한다. simplicial complex는 다수의 simplices로 구성된, 부분집합의 그룹이다. 앞에 abstract가 주로 붙는데 이건 연결 관계만 집중할 뿐 실제 거리 개념은 상관이 없기 때문이다. 옆 그림에서 2개는 같은 것이다 위상수학에선.

조금 헷갈릴만한 용어도 있다. 바로 face다. face는 vertex 3개가 이루는 삼각형이라고 생각할 수 있는데 위상수학에서는, 어떤 simplex가 있을 때, 이 원소들로 만들어진 또다른 부분집합 simplex 을 말한다. (자기 자신은 제외)

simplicial complex는 단순히 simplices의 집합이 아니라 하나하나의 simplex의 face까지도 다 포함하는 "닫힌 집합"이다.

subcomplex는 말그대로 simplicial complex의 부분집합 같은 또 다른 subcomplex인데 이 역시 하위 face들을 다 포함하는 닫힌 형태여야 한다. 같은 k-simplices로 구성되어있다면 pure, 아니면 not -pure다.  mesh같은 경우는 pure가 되겠다.